இரண்டாம் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024
பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம் (விடைகளுடன்)
பகுதி - அ (7x1=7)
I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.
1. A என்ற அணியின் வரிசை 2 × 3, B என்ற அணியின் வரிசை 3 × 4 எனில், AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை
விடை: ஆ) 4
விளக்கம்: A-யின் வரிசை m x n மற்றும் B-யின் வரிசை n x p எனில், AB-யின் வரிசை m x p ஆகும். இங்கு, A-யின் வரிசை 2x3, B-யின் வரிசை 3x4. எனவே, AB-யின் வரிசை 2x4. நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4.
2. \( 2X + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} \) எனில் X என்ற அணியைக் காண்க.
விடை: ஆ) \( \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)
விளக்கம்:
\( 2X = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 & 7-3 \\ 9-5 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \)
\( X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)
3. ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும், அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \( \sqrt{3}:1 \) எனில், சூரியனைக் காணும் ஏற்றக் கோண அளவானது
விடை: ஈ) 60°
விளக்கம்: \( \tan \theta = \frac{உயரம்}{நிழலின் நீளம்} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \). எனவே, \( \theta = 60° \).
4. ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 60 மீ ஆகும். சூரியனைக் காணும் ஏற்றக் கோணம் 30° லிருந்து 45° ஆக உயரும் போது கோபுரத்தின் நிழலானது x மீ குறைகிறது எனில் x ன் மதிப்பு
விடை: ஆ) 43.92 மீ
விளக்கம்:
ஆரம்பத்தில், \( \tan 30° = \frac{60}{D} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{D} \Rightarrow D = 60\sqrt{3} \) மீ.
பின்னர், \( \tan 45° = \frac{60}{D-x} \Rightarrow 1 = \frac{60}{D-x} \Rightarrow D-x = 60 \) மீ.
\( x = D - 60 = 60\sqrt{3} - 60 = 60(\sqrt{3} - 1) = 60(1.732 - 1) = 60(0.732) = 43.92 \) மீ.
5. ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரம்
விடை: அ) 12 செ.மீ
விளக்கம்: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) செ.மீ.
6. 15 செ.மீ உயரமும் 16 செ.மீ விட்டமும் கொண்ட ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் வளைபரப்பு
விடை: ஈ) 136π ச.செ.மீ
விளக்கம்: h = 15 செ.மீ, விட்டம் = 16 செ.மீ, எனவே ஆரம் r = 8 செ.மீ.
சாயுயரம் \( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \) செ.மீ.
வளைபரப்பு = \( \pi r l = \pi \times 8 \times 17 = 136\pi \) ச.செ.மீ.
7. ஓர் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ______ ஆகும்.
விடை: இ) பரவளையம்
விளக்கம்: இருபடிச் சமன்பாட்டின் (quadratic equation) வரைபடம் எப்போதும் ஒரு பரவளையமாக (parabola) இருக்கும்.
பகுதி - ஆ (5x2=10)
II. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 14 கட்டாய வினா)
8. \( a_{ij} = |i - 2j| \) வை 3 x 3 வரிசையைக் கொண்ட அணி A = \( [a_{ij}] \) யினைக் காண்க.
விடை:
\( a_{11} = |1 - 2(1)| = |-1| = 1 \)
\( a_{12} = |1 - 2(2)| = |-3| = 3 \)
\( a_{13} = |1 - 2(3)| = |-5| = 5 \)
\( a_{21} = |2 - 2(1)| = |0| = 0 \)
\( a_{22} = |2 - 2(2)| = |-2| = 2 \)
\( a_{23} = |2 - 2(3)| = |-4| = 4 \)
\( a_{31} = |3 - 2(1)| = |1| = 1 \)
\( a_{32} = |3 - 2(2)| = |-1| = 1 \)
\( a_{33} = |3 - 2(3)| = |-3| = 3 \)
எனவே, அணி A:
9. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) ல் A + B = B + A சரிபார்க்க.
விடை:
LHS = A + B
\( A + B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) ---(1)
RHS = B + A
\( B + A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) ---(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A + B = B + A என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
10. ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48 மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.
விடை:
கோபுரத்தின் உயரம் = h, தொலைவு = 48 மீ, ஏற்றக்கோணம் θ = 30°.
\( \tan \theta = \frac{உயரம்}{அடிப்பக்கம்} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \( 16\sqrt{3} \) மீ ஆகும்.
11. 13 மீ உயரமுள்ள ஒரு மரத்தின் உச்சியிலிருந்து மற்றொரு மரத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 45° மற்றும் 30° எனில் இரண்டாவது மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (√3 = 1.732)
விடை:
முதல் மரத்தின் உயரம் (AB) = 13 மீ. இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் (CD) = H.
மரங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு = x.
படத்திலிருந்து, இறக்கக்கோணம் 30°:
\( \tan 30° = \frac{13}{x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{13}{x} \Rightarrow x = 13\sqrt{3} \) மீ.
ஏற்றக்கோணம் 45°:
\( \tan 45° = \frac{H-13}{x} \Rightarrow 1 = \frac{H-13}{x} \Rightarrow x = H - 13 \)
சமன்பாடுகளை ஒப்பிட, \( 13\sqrt{3} = H - 13 \)
\( H = 13 + 13\sqrt{3} = 13(1 + \sqrt{3}) = 13(1 + 1.732) = 13(2.732) = 35.516 \) மீ.
இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் 35.516 மீ.
12. 704 ச.செ.மீ மொத்தப் புறப்பரப்பு கொண்ட ஒரு கூம்பின் ஆரம் 7 செ.மீ எனில், அதன் சாயுயரம் காண்க.
விடை:
கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \( \pi r (l+r) = 704 \)
ஆரம் r = 7 செ.மீ
\( \frac{22}{7} \times 7 \times (l+7) = 704 \)
\( 22 (l+7) = 704 \)
\( l+7 = \frac{704}{22} = 32 \)
\( l = 32 - 7 = 25 \) செ.மீ.
சாயுயரம் 25 செ.மீ ஆகும்.
13. ஒரு கோளத்தின் புறப்பரப்பு 154 ச.மீ எனில், அதன் விட்டம் காண்க.
விடை:
கோளத்தின் புறப்பரப்பு = \( 4\pi r^2 = 154 \)
\( 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \)
\( r^2 = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{7 \times 7}{4} \)
\( r = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \) மீ.
விட்டம் = \( 2r = 2 \times 3.5 = 7 \) மீ.
14. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} \) எனில் \( (A^T)^T = A \) சரிபார்க்க. (கட்டாய வினா)
விடை:
கொடுக்கப்பட்ட அணி: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} \)
A-யின் நிரை-நிரல் மாற்று அணி (Transpose of A):
\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} \)
\( A^T \)-யின் நிரை-நிரல் மாற்று அணி:
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} \)
எனவே, \( (A^T)^T = A \) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
பகுதி - இ (5x5=25)
III. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 21 கட்டாய வினா)
15. பின்வருவனவற்றை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வரையறை.
i) மூலைவிட்ட அணி (3 × 3)
ii) திசையிலி அணி (4 x 4)
iii) அலகு அணி (3 x 3)
விடை:
i) மூலைவிட்ட அணி (Diagonal Matrix): ஒரு சதுர அணியில், முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளைத் தவிர மற்ற அனைத்து உறுப்புகளும் பூச்சியம் எனில், அது மூலைவிட்ட அணி எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு (3x3): \( \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
ii) திசையிலி அணி (Scalar Matrix): ஒரு மூலைவிட்ட அணியில், முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமாக இருப்பின் அது திசையிலி அணி எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு (4x4): \( \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \)
iii) அலகு அணி (Identity/Unit Matrix): ஒரு திசையிலி அணியில், முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் 1 ஆக இருப்பின் அது அலகு அணி எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு (3x3): \( I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
16. \( A = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 6 \\ 1 & 3 & 9 \\ -4 & 3 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} \) எனில், 2A + B காண்க.
விடை:
\( 2A = 2 \times \begin{pmatrix} 7 & 8 & 6 \\ 1 & 3 & 9 \\ -4 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 16 & 12 \\ 2 & 6 & 18 \\ -8 & 6 & -2 \end{pmatrix} \)
\( 2A + B = \begin{pmatrix} 14 & 16 & 12 \\ 2 & 6 & 18 \\ -8 & 6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 11 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} \)
\( = \begin{pmatrix} 14+4 & 16+11 & 12-3 \\ 2-1 & 6+2 & 18+4 \\ -8+7 & 6+5 & -2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 27 & 9 \\ 1 & 8 & 22 \\ -1 & 11 & -2 \end{pmatrix} \)
17. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், A(B + C) = AB + AC என்பதைச் சரிபார்க்க.
விடை:
LHS = A(B + C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 1-7 & 2+6 \\ -4+3 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \)
\( A(B+C) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-1 & 8+4 \\ 6-3 & -8+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 12 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) ---(1)
RHS = AB + AC
\( AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2+2 \\ -1-12 & -2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -13 & 4 \end{pmatrix} \)
\( AC = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7+3 & 6+2 \\ 7+9 & -6+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 8 \\ 16 & 0 \end{pmatrix} \)
\( AB+AC = \begin{pmatrix} -3-4 & 4+8 \\ -13+16 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 12 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) ---(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A(B + C) = AB + AC என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
18. இரு கப்பல்கள் கலங்கரைவிளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்தும் கலங்கரைவிளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45° ஆகும். கலங்கரைவிளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க. (√3 = 1.732)
விடை:
கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் (h) = 200 மீ.
முதல் கப்பலுக்கும் கலங்கரை விளக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = x.
\( \tan 30° = \frac{200}{x} \Rightarrow x = \frac{200}{\tan 30°} = 200\sqrt{3} \) மீ.
இரண்டாவது கப்பலுக்கும் கலங்கரை விளக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = y.
\( \tan 45° = \frac{200}{y} \Rightarrow y = \frac{200}{\tan 45°} = 200 \) மீ.
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு = x + y = \( 200\sqrt{3} + 200 = 200(\sqrt{3} + 1) \)
\( = 200(1.732 + 1) = 200(2.732) = 546.4 \) மீ.
19. 1.6 மீ உயரமுள்ள சிலை ஒன்று பீடத்தின் மேல் அமைந்துள்ளது. தரையிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து 60° ஏற்றக் கோணத்தில் சிலையின் உச்சி அமைந்துள்ளது. மேலும் அதே புள்ளியிலிருந்து பீடத்தின் உச்சியானது 40° ஏற்றக் கோணத்தில் உள்ளது எனில், பீடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 40° = 0.8391, √3 = 1.732)
விடை:
பீடத்தின் உயரம் = h மீ என்க.
சிலையின் உயரம் = 1.6 மீ.
தரையிலுள்ள புள்ளிக்கும் பீடத்தின் அடிக்கும் உள்ள தொலைவு = x மீ.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின்படி, இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உருவாகின்றன.
பீடத்தின் உச்சிக்கான ஏற்றக்கோணம் 40°:
\( \tan 40° = \frac{எதிர்ப்பக்கம்}{அடுத்துள்ள பக்கம்} = \frac{h}{x} \)
\( x = \frac{h}{\tan 40°} \) --- (1)
சிலையின் உச்சிக்கான ஏற்றக்கோணம் 60°:
\( \tan 60° = \frac{பீடத்தின் உயரம் + சிலையின் உயரம்}{x} = \frac{h + 1.6}{x} \)
\( x = \frac{h + 1.6}{\tan 60°} \) --- (2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\( \frac{h}{\tan 40°} = \frac{h + 1.6}{\tan 60°} \)
மதிப்புகளைப் பிரதியிட (\( \tan 40° = 0.8391 \), \( \tan 60° = \sqrt{3} = 1.732 \)),
\( \frac{h}{0.8391} = \frac{h + 1.6}{1.732} \)
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய,
\( 1.732 \times h = 0.8391 \times (h + 1.6) \)
\( 1.732h = 0.8391h + (0.8391 \times 1.6) \)
\( 1.732h = 0.8391h + 1.34256 \)
\( 1.732h - 0.8391h = 1.34256 \)
\( 0.8929h = 1.34256 \)
\( h = \frac{1.34256}{0.8929} \approx 1.5036 \) மீ
எனவே, பீடத்தின் உயரம் தோராயமாக 1.50 மீ ஆகும்.
20. ஓர் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.
விடை:
ஆரம் (r) = 5x, உயரம் (h) = 7x.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = \( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x^2 = 5500 \)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} = 25 \Rightarrow x=5 \)
ஆரம் r = 5x = 5(5) = 25 செ.மீ.
உயரம் h = 7x = 7(5) = 35 செ.மீ.
21. (கட்டாய வினா)
அ) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில் இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு காண்க.
(அல்லது)
ஆ) பிதாகரஸ் தேற்றம் எழுதி நிறுவுக.
விடை:
அ) இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு:
h = 45 செ.மீ, R = 28 செ.மீ, r = 7 செ.மீ.
கனஅளவு \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) \)
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + 28 \times 7) \)
\( V = \frac{22}{7} \times 15 \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{22}{7} \times 15 \times 1029 \)
\( V = 22 \times 15 \times 147 = 48510 \) க.செ.மீ.
ஆ) பிதாகரஸ் தேற்றம்:
தேற்றம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
நிரூபணம்:
ΔABC -யில் ∠B = 90°. BD ⊥ AC வரைக.
1. ΔADB மற்றும் ΔABC -யில், ∠A பொதுவானது, ∠ADB = ∠ABC = 90°. எனவே, ΔADB ~ ΔABC (AA விதி).
அதனால், \( \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB^2 = AD \cdot AC \) ---(1)
2. ΔBDC மற்றும் ΔABC -யில், ∠C பொதுவானது, ∠BDC = ∠ABC = 90°. எனவே, ΔBDC ~ ΔABC (AA விதி).
அதனால், \( \frac{CD}{BC} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC^2 = CD \cdot AC \) ---(2)
3. (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட,
\( AB^2 + BC^2 = AD \cdot AC + CD \cdot AC = AC(AD+CD) \)
படத்திலிருந்து AD + CD = AC.
\( AB^2 + BC^2 = AC(AC) = AC^2 \).
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
பகுதி - ஈ (1x8=8)
IV. விடையளி
22.
அ) \( x^2 - 9x + 20 = 0 \) வரைபடம் வரைந்து தீர்வுகளின் தன்மையைக் கூறுக.
(அல்லது)
ஆ) 4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைந்து அதன் மையத்திலிருந்து 11 செ.மீ தொலைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியைக் குறித்து, அப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரைக.
விடை:
அ) வரைபடம்: \( y = x^2 - 9x + 20 \)
1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
| x | -1 | 0 | 2 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 30 | 20 | 6 | 0 | -0.25 | 0 | 2 |
2. வரைபடம் வரைதல்:
மேற்கண்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தாளில் குறித்து, அவற்றை ஒரு மென்மையான வளைகோட்டால் இணைத்தால் ஒரு பரவளையம் கிடைக்கும்.
3. தீர்வு:
பரவளையம் x-அச்சை x=4 மற்றும் x=5 ஆகிய இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
4. தீர்வுகளின் தன்மை:
மூலங்கள் மெய்யானவை மற்றும் சமமற்றவை (Real and Unequal roots).
ஆ) தொடுகோடுகள் வரைதல்:
வரைமுறை:
- O-வை மையமாகக் கொண்டு 4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
- மையம் O-விலிருந்து 11 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்க (OP = 11 செ.மீ).
- OP என்ற கோட்டுத்துண்டிற்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
- M-ஐ மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு மற்றொரு வட்டம் வரைக.
- இந்த புதிய வட்டம், பழைய வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டும்.
- PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்க.
- PA மற்றும் PB என்பவையே தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். (அளந்தால், \( PA = PB \approx 10.25 \) செ.மீ இருக்கும்).
